חורף 2022 נבצרים – שאלה 1 סעיף ב

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף ב (1) – מגדל בן 7 קומות

3סעיף ב (2) – מ־10 קומות ל־100 קומות

📄 נוסח השאלה

נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ־25 קוביות המסודרות בצורת ריבוע. הקומה שמעליה בנויה מ־16 קוביות המסודרות בצורת ריבוע, וכך הלאה עד לקומה העליונה שבה יש קובייה אחת.

(1) כמה קוביות סך הכול דרושות כדי לבנות באותו אופן מגדל שבו 7 קומות?

(2) נתון מגדל ובו 10 קומות הבנוי באותו אופן. כמה קוביות צריך להוסיף למגדל זה, כדי שיהיו בו 100 קומות הבנויות באותו אופן?

📄 נוסח השאלה · המשך

אפשר להיעזר בנוסחה (לכל n טבעי):

1² + 2² + … + n²

= n(n + 1)(2n + 1)6

סעיף ב (1) – מגדל בן 7 קומות

1² + 2² + … + n²
= n(n + 1)(2n + 1)6

בקומות יש 1², 2², …, 7² קוביות, ולכן צריך את סכום הריבועים בעבור n = 7:

1² + … + 7² = 7 · 8 · 156

📐 סכום ריבועים

= 8406 = 140

✅ פתרון סופי: 140 קוביות

📐 סכום ריבועים

1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

סעיף ב (2) – מ־10 קומות ל־100 קומות

1² + 2² + … + n²
= n(n + 1)(2n + 1)6

צריך להוסיף את ההפרש בין מגדל של 100 קומות למגדל של 10 קומות:

1² + … + 100² = 100 · 101 · 2016

📐 סכום ריבועים

= 338350

1² + … + 10² = 10 · 11 · 216 = 385

338350 − 385 = 337965

✅ פתרון סופי: 337965 קוביות

📐 סכום ריבועים

1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא